什么是动态规划

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman(理查德.贝尔曼)等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划(Dynamic Programming)。

动态规划,其实就是将整个问题划分为许多子问题,然后对每个子问题作出决策

基础动态规划

数字三角形

题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P1216

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3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

针对如上这个例子,我们如果按照贪心的思路,是$7→8→1→7→5$,算出来是$28$。而$7→3→8→7→5$的结果为$30$。所以贪心是行不通的。

设置状态

定义$f[i][j]$为$\text{到达第}i\text{行第}j\text{列}$的最大值。

转移方程

我们从最后一层开始,由下往上走,不难得出方程:$f[i-1][j] = max(f[i][j],f[i][j+1])+a[i-1][j]$

背包dp

01背包

采药: https://www.luogu.com.cn/problem/P1048

确定状态:设$f[i][j]$为前$i$株草药总价值不超过$j$所获最大价值。

方程: $f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])$

由于第一维什么用也没有,所以舍掉:

优化方程: $f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i])$

最终答案为$f[t]$

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for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=t;j>=v[i];j--)
{
if(f[j - v[i]] + c[i] > f[j])f[j] = f[j - v[i]] + c[i];
}
}

坐标型动态规划

爬楼梯: https://www.lintcode.com/problem/climbing-stairs/description

确定状态:设$f[i]$为到达第$i$级楼梯的方案

对于每一层楼梯,我们可以由前一层爬一楼或前两层爬两楼。

方程: $f[i]=f[i-1]+f[i-2]$

单序列动态规划

最长上升子序列: https://www.lintcode.com/problem/longest-increasing-subsequence/description

确定状态: 设$f[i]$为以第$i$个结尾的最长上升子序列的长度。

方程: $f[i]=max(f[i],f[j]+1)(a[i]>a[j])$

初值: $f[i]=1$

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for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(a[i] > a[j])f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}
}

$End.$